已知函数f(x)=ax-1-lnx,a∈R. (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围.
问题描述:
已知函数f(x)=ax-1-lnx,a∈R.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围.
答
(Ⅰ)在区间(0,+∞)上,f′(x)=a−
=1 x
.ax−1 x
①若a≤0,则f′(x)<0,f(x)是区间(0,+∞)上的减函数;
②若a>0,令f′(x)=0得x=
.1 a
在区间(0,
)上,f′(x)<0,函数f(x)是减函数;1 a
在区间(
,+∞)上,f′(x)>0,函数f(x)是增函数;1 a
综上所述,①当a≤0时,f(x)的递减区间是(0,+∞),无递增区间;
②当a>0时,f(x)的递增区间是(
,+∞),递减区间是(0,1 a
).1 a
(II)因为函数f(x)在x=1处取得极值,所以f′(1)=0
解得a=1,经检验满足题意.
由已知f(x)≥bx-2,则
≥bx+1−lnx x
令g(x)=
=1+x+1−lnx x
−1 x
,则g′(x)=−lnx x
−1 x2
=1−lnx x2
lnx−2 x
易得g(x)在(0,e2]上递减,在[e2,+∞)上递增,
所以g(x)min=g(e2)=1−
,即b≤1−1 e2
.1 e2