球与圆台的上下底面及侧面都相切,且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4,则球的体积与圆台的体积之比为_.

问题描述:

球与圆台的上下底面及侧面都相切,且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4,则球的体积与圆台的体积之比为______.

设球半径为R,圆台上底半径为r,圆台下底半径为r′,
因为球与圆台上下侧面都相切,所以圆台侧面长l=r+r′,
又∵球面面积与圆台的侧面积之比为3:4,
∴π﹙r+r′﹚2:4πR2=4:3①
﹙r′-r﹚2+﹙2R﹚2=﹙r+r′﹚2
解之r′=3r,则R=

3
r,
V=
4
3
πR3=
12
3
π
3
r3

V=
1
3
π(r2+r′2+rr′)2R=
26
3
π
3
r3

V:V=6:13.
故答案为:6:13