表面积为144π的球内切于一个圆台（即球与圆台的上、下底面和侧面都相切），如果圆台的下底面与上底面的半径之差为5，求圆台的表面积和体积．
问题描述：
表面积为144π的球内切于一个圆台（即球与圆台的上、下底面和侧面都相切），如果圆台的下底面与上底面的半径之差为5，求圆台的表面积和体积．
答
设圆台内切球的半径为R，
则4πR2=144π，
解得R=6，
则圆台的高为12，
作出圆台的轴截面如下图所示：
∵圆台的下底面与上底面的半径之差为5，
故圆台的母线长为13，
则由切线长定理知，下底面与上底面的半径之和为13，
故圆台的上下底面半径分别为4，9，
则圆台的表面积S=π（42+92+132）=266π，
圆台的体积V=
π（42+92+4×9）=1 3
．133π 3
答案解析：由已知中表面积为144π的球内切于一个圆台，求出圆台的高，母线长，上下底面的半径，代入圆台的表面积和体积公式，可得答案．
考试点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
知识点：本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆台的高，母线长，上下底面的半径，是解答的关键．