已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1(n为常数). (1)当该抛物线经过坐标原点,并且顶点在第四象限时,求出它所对应的函数关系式; (2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称

问题描述:

已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1(n为常数).
(1)当该抛物线经过坐标原点,并且顶点在第四象限时,求出它所对应的函数关系式;
(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点,过A作x轴的平行线,交抛物线于另一点D,再作AB⊥x轴于B,DC⊥x轴于C.
①当BC=1时,求矩形ABCD的周长;
②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值?如果存在,请求出这个最大值,并指出此时A点的坐标.如果不存在,请说明理由.

(1)由已知条件,得n2-1=0
解这个方程,得n1=1,n2=-1
当n=1时,得y=x2+x,此抛物线的顶点不在第四象限.
当n=-1时,得y=x2-3x,此抛物线的顶点在第四象限.
∴所求的函数关系为y=x2-3x;
(2)由y=x2-3x,
令y=0,得x2-3x=0,
解得x1=0,x2=3
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)
∴它的顶点为(

3
2
9
4
),对称轴为直线x=
3
2
,其大致位置如图所示,
①∵BC=1,易知OB=
1
2
×(3-1)=1.
∴B(1,0)
∴点A的横坐标x=1,又点A在抛物线y=x2-3x上,
∴点A的纵坐标y=12-3×1=-2.
∴AB=|y|=|-2|=2.
∴矩形ABCD的周长为:2(AB+BC)=2×(2+1)=6.
②∵点A在抛物线y=x2-3x上,故可设A点的坐标为(x,x2-3x),
∴B点的坐标为(x,0).(0<x<
3
2

∴BC=3-2x,A在x轴下方,
∴x2-3x<0,
∴AB=|x2-3x|=3x-x2
∴矩形ABCD的周长,
C=2[(3x-x2)+(3-2x)]=-2(x-
1
2
2+
13
2

∵a=-2<0,抛物线开口向下,二次函数有最大值,
∴当x=
1
2
时,矩形ABCD的周长C最大值为
13
2

此时点A的坐标为A(
1
2
5
4
).