如图，已知抛物线y=-x2+bx+9-b2（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴交于另一点E．其顶点M在第一象限．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A作x轴的平行线交该抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DE⊥x轴于点C．①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，求矩形ABCD的周长；②求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标；③当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值？请判断并说明理由．

答

（1）由题意，代入原点到二次函数解析式
则9-b²=0，
解得b=±3，
由题意抛物线的对称轴大于0，

b

2

＞0，
所以b=3，
所以解析式为y=-x²+3x；
（2）设A点横坐标为m，则

3

2

＞m＞0，
AB=3m-m²，BC=2（

3

2

-m）=3-2m，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（-m²+m+3）=-2m²+2m+6．
①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，则
3m-m²＞0且为整数，3-2m＞0且为整数，
∴m=1．
∴矩形ABCD的周长=-2m²+2m+6=6；
②∵矩形ABCD的周长=-2m²+2m+6=-2（m²-m）+6=-2（m²-m+

1

4

-

1

4

）+6=-2（m-

1

2

）²+

13

2

，
∴当m=

1

2

时，有最大值=

13

2

，
此时点A的坐标为（

1

2

，

5

4

）；
③当矩形ABCD的周长取得最大值时，m=

1

2

，
此时，矩形ABCD的面积=AB•BC=（3m-m²）（3-2m）=

5

2

，不是最大值．
∵当m=

3

4

时，矩形ABCD的面积=（3m-m²）（3-2m）=1.6875×1.5=2.53125＞

5

2

．
∴当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积不能同时取得最大值．
答案解析：（1）已知抛物线过原点，代入求得b值而求出二次函数解析式；
（2）设A点横坐标为m，则

3

2

＞m＞0，AB=3m-m²，BC=3-2m，矩形ABCD的周长=-2m²+2m+6．
①根据线段AB、BC的长都是整数个单位长度及

3

2

＞m＞0，确定m的值，从而求出矩形ABCD的周长；
②将-2m²+2m+6配方，根据二次函数的性质，得出矩形ABCD的周长的最大值，并求出此时点A的坐标；
③将矩形ABCD的周长取得最大值时的m的值代入它的面积表达式AB•BC=（3m-m²）（3-2m）中，计算出其值为2.5，然后在

3

2

＞m＞0的范围内找到一个m=

3

4

时，矩形ABCD的面积=2.53125＞

5

2

，从而得到当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积不能同时取得最大值．
考试点：二次函数综合题．
知识点：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．