已知抛物线y=x2+（2n-1）x+n2-1（n为常数）．（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；（2）设A是（1）所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C．①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标．如果不存在，请说明理由．

（1）由已知条件，得n2-1=0解这个方程，得n1=1，n2=-1当n=1时，得y=x2+x，此抛物线的顶点不在第四象限．当n=-1时，得y=x2-3x，此抛物线的顶点在第四象限．∴所求的函数关系为y=x2-3x；（2）由y=x2-3x，令y=0，得x2-3...
答案解析：（1）将原点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出n的值，然后根据抛物线顶点在第四象限将不合题意的n值舍去，即可得出所求的二次函数解析式；
（2）①先根据抛物线的解析式求出抛物线与x轴另一交点E的坐标，根据抛物线和矩形的对称性可知：OB的长，就是OE与BC的差的一半，由此可求出OB的长，即B点的坐标，然后代入抛物线的解析式中即可求出B点纵坐标，也就得出了矩形AB边的长．进而可求出矩形的周长；
②思路同①可设出A点坐标（设横坐标，根据抛物线的解析式表示纵坐标），也就能表示出B点的坐标，即可得出OB的长，同①可得出BC的长，而AB的长就是A点纵坐标的绝对值，由此可得出一个关于矩形周长和A点纵坐标的函数关系式，根据函数的性质可得出矩形周长的最大值及对应的A的坐标．
考试点：二次函数综合题．