已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1(n为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点,并且顶点在第四象限时,求出它所对应的函数关系式;(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点,过A作x轴的平行线,交抛物线于另一点D,再作AB⊥x轴于B,DC⊥x轴于C.①当BC=1时,求矩形ABCD的周长;②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值?如果存在,请求出这个最大值,并指出此时A点的坐标.如果不存在,请说明理由.

问题描述:

已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1(n为常数).
(1)当该抛物线经过坐标原点,并且顶点在第四象限时,求出它所对应的函数关系式;
(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点,过A作x轴的平行线,交抛物线于另一点D,再作AB⊥x轴于B,DC⊥x轴于C.
①当BC=1时,求矩形ABCD的周长;
②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值?如果存在,请求出这个最大值,并指出此时A点的坐标.如果不存在,请说明理由.

(1)由已知条件,得n2-1=0
解这个方程,得n1=1,n2=-1
当n=1时,得y=x2+x,此抛物线的顶点不在第四象限.
当n=-1时,得y=x2-3x,此抛物线的顶点在第四象限.
∴所求的函数关系为y=x2-3x;
(2)由y=x2-3x,
令y=0,得x2-3x=0,
解得x1=0,x2=3
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)
∴它的顶点为(

3
2
9
4
),对称轴为直线x=
3
2
,其大致位置如图所示,
①∵BC=1,易知OB=
1
2
×(3-1)=1.
∴B(1,0)
∴点A的横坐标x=1,又点A在抛物线y=x2-3x上,
∴点A的纵坐标y=12-3×1=-2.
∴AB=|y|=|-2|=2.
∴矩形ABCD的周长为:2(AB+BC)=2×(2+1)=6.
②∵点A在抛物线y=x2-3x上,故可设A点的坐标为(x,x2-3x),
∴B点的坐标为(x,0).(0<x<
3
2

∴BC=3-2x,A在x轴下方,
∴x2-3x<0,
∴AB=|x2-3x|=3x-x2
∴矩形ABCD的周长,
C=2[(3x-x2)+(3-2x)]=-2(x-
1
2
2+
13
2

∵a=-2<0,抛物线开口向下,二次函数有最大值,
∴当x=
1
2
时,矩形ABCD的周长C最大值为
13
2

此时点A的坐标为A(
1
2
5
4
).
答案解析:(1)将原点坐标代入抛物线的解析式中,即可求出n的值,然后根据抛物线顶点在第四象限将不合题意的n值舍去,即可得出所求的二次函数解析式;
(2)①先根据抛物线的解析式求出抛物线与x轴另一交点E的坐标,根据抛物线和矩形的对称性可知:OB的长,就是OE与BC的差的一半,由此可求出OB的长,即B点的坐标,然后代入抛物线的解析式中即可求出B点纵坐标,也就得出了矩形AB边的长.进而可求出矩形的周长;
②思路同①可设出A点坐标(设横坐标,根据抛物线的解析式表示纵坐标),也就能表示出B点的坐标,即可得出OB的长,同①可得出BC的长,而AB的长就是A点纵坐标的绝对值,由此可得出一个关于矩形周长和A点纵坐标的函数关系式,根据函数的性质可得出矩形周长的最大值及对应的A的坐标.
考试点:二次函数综合题.

知识点:本题主要考查二次函数解析式的确定以及二次函数的应用.