用反证法证明:若a,b,c∈R,且x=a^2-2b+1,y=b^2-2c+1,z=c^2-2a+1,则,x,y,z中至少有一个不小于0.

问题描述:

用反证法证明:若a,b,c∈R,且x=a^2-2b+1,y=b^2-2c+1,z=c^2-2a+1,则,x,y,z中至少有一个不小于0.

假设X,Y,Z均小于0。
又 x=a^2-2b+1,y=b^2-2c+1,z=c^2-2a+1
则X+Y+Z=a^2-2b+1+b^2-2c+1+c^2-2a+1
=(a-1)^2+(b-1)^2+(c+1)^2大于等于0(因为(a-1)^2,(b-1)^2,(c+1)^2均大于等于0)
又X,Y,Z均小于0
则X+Y+Z 小于0 矛盾

因为x+y+z=(a-1)^2+(b-1)^2+(c+1)^2 >= 0
如果x,y,z全都小于零
则上式不成立
所以必然有一个不小于零的

假设这三个都小于零
即x=a^2-2b+1