用反证法证明.若a、b、c均为实数,且a=x2-2y+π2,b=y2-2z+π3,c=z2-2x+π6,求证:a、b、c中至少有一个大于0.
问题描述:
用反证法证明.若a、b、c均为实数,且a=x2-2y+
,b=y2-2z+π 2
,c=z2-2x+π 3
,求证:a、b、c中至少有一个大于0. π 6
答
证明:设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,
∴a+b+c≤0,
而a+b+c=(x2-2y+
)+(y2-2z+π 2
)+(z2-2x+π 3
)π 6
=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,
∴a+b+c>0,
这与a+b+c≤0矛盾,
故假设是错误的,
故a、b、c中至少有一个大于0