已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).

问题描述:

已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).

证明:先证明:a3+b3≥a2b+ab2,∵(a3+b3)-(a2b+ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a2-b2)(a-b)=(a+b)(a-b)2≥0,∴a3+b3≥a2b+ab2,取等号的条件是a=b,同理,a3+b3≥a2b+ab2,a3+c3≥a2c+ac2,b3+c3≥b2c+bc2...
答案解析:由(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2≥0,得a3+b3≥a2b+ab2,同理,a3+c3≥a2c+ac2,b3+c3≥b2c+bc2三式相加,能证明2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
考试点:排序不等式.
知识点:本题考查不等式的证明,是基础题,解题时要认真审题,注意作差法的合理运用.