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已知三个正数a，b，c满足a2，b2，c2成等差数列，求证1/a+b，1/a+c，1/b+c也成等差数列．

分类: 作业答案 • 2023-01-08 14:12:41
问题描述：

已知三个正数a，b，c满足a2，b2，c2成等差数列，求证

1
a+b
，
1
a+c
，
1
b+c
也成等差数列．

答

∵三个正数a，b，c满足a2，b2，c2成等差数列，
∴a2+c2=2b2，
∵

1
a+b
+
1
b+c
=
a+2b+c
(b+c)(a+b)
，
∴要使
a+2b+c
(b+c)(a+b)
=
2
a+c
成立，
则等价为2ab+2b2+2bc+2ac=a2+2ab+ac+ac+2bc+c2，
化简得2b2=a2+c2，此式成立，
∴结论成立．
综上证
1
a+b
，
1
a+c
，
1
b+c
也成等差数列．

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