已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
问题描述:
已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
答
证明:先证明:a3+b3≥a2b+ab2,
∵(a3+b3)-(a2b+ab2)
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a2-b2)(a-b)
=(a+b)(a-b)2
≥0,
∴a3+b3≥a2b+ab2,取等号的条件是a=b,
同理,a3+b3≥a2b+ab2,
a3+c3≥a2c+ac2,
b3+c3≥b2c+bc2
三式相加,得:
2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b),
取等号的条件是a=b=c,
∴2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).