曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是______.

问题描述:

曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是______.

因为直线2x-y+3=0的斜率为2,
所以令y′=

2
2x−1
=2,解得:x=1,
把x=1代入曲线方程得:y=0,即曲线上过(1,0)的切线斜率为2,
则(1,0)到直线2x-y+3=0的距离d=
|2+3|
22+(−1)2
=
5

即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是
5

故答案为:
5

答案解析:直线y=2x+3在曲线y=ln(2x+1)上方,把直线平行下移到与曲线相切,切点到直线2x-y+3=0的距离即为所求的最短距离.由直线2x-y+3=0的斜率,令曲线方程的导函数等于已知直线的斜率即可求出切点的横坐标,把求出的横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标,然后利用点到直线的距离公式求出切点到已知直线的距离即可.
考试点:导数的运算;点到直线的距离公式.
知识点:在曲线上找出斜率和已知直线斜率相等的点的坐标是解本题的关键.同时要求学生掌握求导法则及点到直线的距离公式的运用.