曲线y=lnx上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 ___ ．
问题描述：
曲线y=lnx上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是 ___ ．
答
知识点：在曲线上找出斜率和已知直线斜率相等的点的坐标是解本题的关键．同时要求学生掌握求导法则及点到直线的距离公式的运用．
因为直线2x-y+3=0的斜率为2，
所以令y′=
=2，解得：x=1 x
，1 2
把x=
代入曲线方程得：y=-ln2，即曲线上过（1 2
，-ln2）的切线斜率为2，1 2
则（
，-ln2）到直线2x-y+3=0的距离d=1 2
=|1+ln2+3|
22+(-1)2
，4+ln2
5
即曲线y=lnx上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是
．4+ln2
5
故答案为：
4+ln2
5
答案解析：直线2x-y+3=0在曲线y=lnx上方，把直线平行下移到与曲线相切，切点到直线2x-y+3=0的距离即为所求的最短距离．由直线2x-y+3=0的斜率，令曲线方程的导函数等于已知直线的斜率即可求出切点的横坐标，把求出的横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，然后利用点到直线的距离公式求出切点到已知直线的距离即可．
考试点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
知识点：在曲线上找出斜率和已知直线斜率相等的点的坐标是解本题的关键．同时要求学生掌握求导法则及点到直线的距离公式的运用．