如图，直线y=x与双曲线y=kx（x＞0）相交于点A，点P在双曲线上，过P做PB∥y轴，交直线y=x于点B，点Q在x轴的正半轴上．（1）如果点A是线段OB中点，∠PAQ=45°①求证：△OAQ∽△BPA；②连接PQ，如果点A到线段PQ的距离为2，求k的值．（2）如果点P在双曲线上移动（不与A重合），且保持△OAQ∽△BPA，那么∠PAQ是45°吗？若是，请说明理由；若不是，能确定其大小吗？

答

（1）①证明：由直线y=x可知∠AOQ=∠1=45°，∵PB∥y轴，∴∠ABP=∠1=45°，∵∠AOQ+∠AQO+∠OAQ=180°，∠OAQ+∠PAQ+∠PAB=180°，∠AOQ=∠PAQ=45°，∴∠AQO=∠PAB，∵∠AOQ=∠ABP=45°，∴△OAQ∽△BPA；②分别过...
答案解析：（1）①先根据直线y=x求得∠AOQ=∠ABP=45°，然后根据三角形的外角的直线和三角形内角和定理求得∠AQO=∠PAB即可求得三角形相似．②根据点A到线段PQ的距离为2和勾股定理求得OQ=PB=2

2

，然后根据①求得的相似三角形求得OA的长，进而求得A点坐标，然后代入反比例函数的表达式即可求得；
（3）先根据直线y=x求得∠AOQ=∠ABP=45°，然后根据三角形相似求得∠OQA=∠BAP，最后依据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可求得；
考试点：反比例函数综合题．
知识点：本题考查了一次函数，反比例函数的性质，相似三角形的判定及性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理等．