设η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解（A是m×n矩阵），ξ是对应的齐次线性方程组Ax=0的非零解，证明：（1）向量组η1，η1-η2线性无关；（2）若秩r（A）=n-1，则向量组ξ，η1，η2线

分类: 作业答案 • 2022-01-09 18:01:51

问题描述：

设η₁与η₂是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解（A是m×n矩阵），ξ是对应的齐次线性方程组Ax=0的非零解，证明：
（1）向量组η₁，η₁-η₂线性无关；
（2）若秩r（A）=n-1，则向量组ξ，η₁，η₂线性相关．

答

证明：（1）设k1η1+k2（η1-η2）=0，则k1Aη1+k2A（η1-η2）=0已知η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，因此Aη1=Aη2=b∴k1b=0而b≠0∴k1=0∴k2（η1-η2）=0又η1与η2是互不相同的，即η1-η2≠0∴k2...

设η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解（A是m×n矩阵），ξ是对应的齐次线性方程组Ax=0的非零解，证明： （1）向量组η1，η1-η2线性无关； （2）若秩r（A）=n-1，则向量组ξ，η1，η2线