如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径作圆，过A点作圆的切线，交DC于E，切点为F． （1）求△ADE的面积； （2）求BF的长．
问题描述：
如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径作圆，过A点作圆的切线，交DC于E，切点为F．
（1）求△ADE的面积；
（2）求BF的长．
答
（1）∵AB⊥BC，
∴AB为圆O的切线，
又AE为圆O的切线，
∴AB=AF=4，
同理得到EF=EC，
设EF=EC=x，则有DE=DC-EC=4-x，AE=AF+EF=4+x，
在Rt△ADE中，利用勾股定理得：AE2=AD2+DE2，即（4+x）2=42+（4-x）2，
解得：x=1，
∴DE=4-1=3，
则S△ADE=
AD•DE=6；1 2
（2）连接OA，OF，
∵OB⊥AB，OF⊥AF，且OB=OF，
∴AO为∠BAF的平分线，
∵AB=AF，
∴AM⊥BF，M为BF的中点，
在Rt△ABO中，根据勾股定理得：OA=
=2
AB2+OB2
，
5
∵S△ABO=
AB•OB=1 2
OA•BM，1 2
∴BM=
=4×2 2
5
，4
5
5
则BF=2BM=
．8
5
5