平面α‖平面β,A、C在α上,B、D在β上,M、N分别为AB和CD的中点.求证：MN‖β.平面α‖平面β,A、C在α上,B、D在β上,M、N分别为AB和CD的中点.求证：MN‖β.
问题描述：
平面α‖平面β,A、C在α上,B、D在β上,M、N分别为AB和CD的中点.求证：MN‖β.
平面α‖平面β,A、C在α上,B、D在β上,M、N分别为AB和CD的中点.
求证：MN‖β.
答
此问题用向量证明较简便,以下向量写法均省略箭头.
由已知MN=MA+AC+CN,又MN=MB+BD+DN,两式相加可得2MN=MA+MB+AC+BD+CN+DN *
又M,N为AB,CD中点,所以MA+MB=0,CN+DN=0,代入上式,有
2MN=AC+BD,由此式知向量MN,AC,BD共面,因为平面α‖平面β,A、C在α上，B、D在β上,所以AC‖β,又BD在β上,所以β为向量AC,BD确定的其中一个平面,又MN不在β是,所以MN‖β
答
证明：连接AD,作AD中点E,连接ME.NE,
在三角形ABD和CBD中,M、N、E分别为AB、CD和AD的中点,
所以ME//BD,EN//AC,
又因EN不属于平面α和平面β,平面α‖平面β,
所以EN//平面β,
又ME//BD,BD属于平面β,
所以ME//平面β,
所以平面MEN//平面β,则MN‖β.