若a、b、x、y均为正实数，并且x+y=1，求证：ab≤（ax+by）（ay+bx）≤(a+b)24．
问题描述：
若a、b、x、y均为正实数，并且x+y=1，求证：ab≤（ax+by）（ay+bx）≤
． (a+b)2
4
答
证明：∵（ax+by）（ay+bx）-ab=a2xy+b2xy+abx2+aby2-ab
=xy（a2+b2）+ab（x2+y2-1）
=xy（a2+b2）+ab[（x+y）2-2xy-1]．
∵a、b、x、y均为正实数，x+y=1，
∴（ax+by）（ay+bx）-ab
=xy（a2+b2）-2abxy
=xy（a-b）2≥0，
∴ab≤（ax+by）（ay+bx）．
又（ax+by）（ay+bx）≤[
]2=[(ax+by)+(ay+bx) 2
]2=(a(x+y)+b(x+y) 2
)2=a+b 2
．(a+b)2 4
∴ab≤（ax+by）（ay+bx）≤
．(a+b)2 4
答案解析：依题意，先作差（ax+by）（ay+bx）-ab后化积即可证得ab≤（ax+by）（ay+bx），再利用基本不等式对（ax+by）（ay+bx）放缩，即可证得（ax+by）（ay+bx）≤
，从而原结论可证．(a+b)2
4
考试点：不等式的证明．
知识点：本题考查不等式的证明，着重考查作差法与放缩法的综合应用，考查推理证明的能力，属于中档题．