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若a、b、x、y均为正实数，并且x+y=1，求证：ab≤（ax+by）（ay+bx）≤(a+b)24．

分类: 作业答案 • 2021-12-29 16:51:43
问题描述：

若a、b、x、y均为正实数，并且x+y=1，求证：ab≤（ax+by）（ay+bx）≤

(a+b)2
4
．

答

证明：∵（ax+by）（ay+bx）-ab=a2xy+b2xy+abx2+aby2-ab
=xy（a2+b2）+ab（x2+y2-1）
=xy（a2+b2）+ab[（x+y）2-2xy-1]．
∵a、b、x、y均为正实数，x+y=1，
∴（ax+by）（ay+bx）-ab
=xy（a2+b2）-2abxy
=xy（a-b）2≥0，
∴ab≤（ax+by）（ay+bx）．
又（ax+by）（ay+bx）≤[

(ax+by)+(ay+bx)
2
]2=[
a(x+y)+b(x+y)
2
]2=(
a+b
2
)2=
(a+b)2
4
．
∴ab≤（ax+by）（ay+bx）≤
(a+b)2
4
．

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