椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点是F1,F2,以F1F2为边作三角形,若椭圆恰平分三角形的另两边,则椭圆的离心率为

问题描述:

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点是F1,F2,以F1F2为边作三角形,若椭圆恰平分三角形的另两边,则椭圆的离心率为

请给出三角形的第三个顶点,否则无法解答!
此题是否为:“椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点是F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰平分三角形的另两边,则椭圆的离心是多少?”
如果是,则见下
由题意可知,第三个顶点为(0,±(√3)c)
由于椭圆与三角形另两边交与另两边的中点,
则交点坐标为(±c/2,±(√3/2)c)
将其代入椭圆的方程,并整理得
b^2c^2+3a^2c^2=4a^2b^2
由于b^2=a^2-c^2
则(a^2-c^2)c^2+3a^2c^2=4a^2(a^2-c^2)
整理得c^4-8a^2c^2+4a^4=0
(c/a)^4-8(c/a)^2+4=0
即e^4-8e^2+4=0
解之得e^2=4±2√3=(√3±1)^2,e=√3±1(√3+1>1舍去)
即椭圆离心率为√3-1.