为什么极限值等于函数值可以推出函数连续

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• 二阶导函数连续可推出三阶可导吗?我是从一道题中想到的这个问题,设函数f(x)满足关系式f''(x)+[f'(x)]^2=x,且f'(0)=0,则：点（0,f（0））是曲线y=f（x）的拐点给出的解题步骤是：f''(0)=0,f''(x)可导,f'''(x)=1-2f'(x)f''(x),f'''(0)=1>0【我的疑问】：题目中没有说3阶可导,为什么解题里直接可以求3阶导数呢?是因为已知给出的是f''(x)的关系式（关于x,而不是某一个x0点）,所以表明2阶导函数连续?继而由2阶导函数连续可推出3阶可导吗?
• 函数的连续与可导之间关系一个函数在闭区间（a,b)上有定义,在开区间（a,b)内可导,那能不能推出,该函数在闭区间（a,b)连续…………………为什么?………………………………分段函数在分段点左右求导结果不同是不是就表明在该点不能求导?如果相同就可以求?既然我的第一个问题是对的，为什么罗尔定理，拉格朗日中值定理第一条都要提到F(X)在某一闭区间连续？
• 分段函数在0处是否连续的符号问题就比如f(X)当x大于等于0时为g(X)当X小于0时为h(X),而且g(X)与h(X)都是初等函数,那么我们是不是可以推出f(X)在(负无穷大,0],(0,正无穷大）内连续啊,但如果f(X)在点0处不连续的话,那么那个(负无穷大,0]这个0的右边是闭的还是开的呢?
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