在锐角三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,m=(2b-c,ccosC),n=(a,cosA),且m∥n. (1)求角A的大小; (2)求函数y=2sin2B+cos(π3-2B)的值域.

问题描述:

在锐角三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,

m
=(2b-c,ccosC),
n
=(a,cosA),且
m
n

(1)求角A的大小;
(2)求函数y=2sin2B+cos(
π
3
-2B)的值域.

(1)由

m
n
,得(2b-c)cosA-acosC=0,…(2分)
∴(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0,2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)
=sin(π-B)=sinB.…(4分)
在锐角三角形ABC中,sinB>0,
cosA=
1
2
,故有 A=
π
3
.…(6分)
(2)在锐角三角形ABC中,∠A=
π
3
,故
π
6
<B<
π
2
.…(7分)
y=2sin2B+cos(
π
3
-2B)=1-cos2B+
1
2
cos2B+
3
2
sin2B

=1+
3
2
sin2B-
1
2
cos2B=1+sin(2B-
π
6
)
.…(9分)
π
6
<B<
π
2
,∴
π
6
<2B-
π
6
6

1
2
<sin(2B-
π
6
)≤1
3
2
<y≤2

∴函数y=2sin2B+cos(
π
3
-2B)的值域为(
3
2
,2]
.…(12分)