在锐角三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,m=(2b-c,ccosC),n=(a,cosA),且m∥n. (1)求角A的大小; (2)求函数y=2sin2B+cos(π3-2B)的值域.
问题描述:
在锐角三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,
=(2b-c,ccosC),m
=(a,cosA),且n
∥m
.n
(1)求角A的大小;
(2)求函数y=2sin2B+cos(
-2B)的值域.π 3
答
(1)由
∥m
,得(2b-c)cosA-acosC=0,…(2分)n
∴(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0,2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)
=sin(π-B)=sinB.…(4分)
在锐角三角形ABC中,sinB>0,
∴cosA=
,故有 A=1 2
.…(6分)π 3
(2)在锐角三角形ABC中,∠A=
,故π 3
<B<π 6
.…(7分)π 2
∴y=2sin2B+cos(
-2B)=1-cos2B+π 3
cos2B+1 2
sin2B
3
2
=1+
sin2B-
3
2
cos2B=1+sin(2B-1 2
).…(9分)π 6
∵
<B<π 6
,∴π 2
<2B-π 6
<π 6
,5π 6
∴
<sin(2B-1 2
)≤1,π 6
<y≤2,3 2
∴函数y=2sin2B+cos(
-2B)的值域为(π 3
,2].…(12分)3 2