若关於x的方程x²-5x+m=0与x²-10x+n=0的四个实根适当排列後,恰好组成一个首项为1的等比数列m：n的值是多少?
问题描述：
若关於x的方程x²-5x+m=0与x²-10x+n=0的四个实根适当排列後,恰好组成一个首项为1的等比数列
m：n的值是多少?
答
可知1必为某一个方程的根,
设①为x^2-5x+m=0的根 ， 则m=4 ，x1=1, x2=4,
根据韦达定理，x4+x3=10,
当数列为 x1，x2，x3，x4时， 得x3=16,x4=64舍
当为 x1,x3,x4,x2时 x3*x4=4, 又x3+x4=10 ,无解
当 x1,x3,x2,x4时 x3*x4=16 的得2,8,所以 m:n=4:16=1:4
② 当1是x^2-10x+n=0的根是， 得n=9 ,x1=1,x2=9,
则x3+x4=5, 易得数列必须为x1,x3,x4,x2 ，所以x3*x4=9，无解
综上m:n=1:4
答
设1为方程x²-5x+m=0的根
则方程x²-5x+m=0的两根分别为：1、4
方程x²-10x+n=0的两根可为：2、8
此时1：2=4：8
m=4,n=16
m:n=1:4