已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为12的等比数列,则|m-n|=(  ) A.1 B.32 C.52 D.92

问题描述:

已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为

1
2
的等比数列,则|m-n|=(  )
A. 1
B.
3
2

C.
5
2

D.
9
2

设这四个根为x1,x2,x3,x4,公比为p其所有可能的值为

1
2
1
2
p
1
2
p2
1
2
p3

x1x2=2
x3x4=2
得x1x2x3x4=4,
1
2
1
2
p•
1
2
p2
1
2
p3=4

则p6=64⇒p=±2.
当p=2时,四个根为
1
2
,1,2,4,且
1
2
,4为一组,1,2为一组,
1
2
+4=m,1+2=n,
|m−n|=
3
2

当p=-2时,不存在任两根使得x1x2=2,或x3x4=2,∴p=-2舍去.
故选B.