如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AD=1,BC=4,E为AB中点,EF∥DC交BC于点F,求EF的长.

问题描述:

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AD=1,BC=4,E为AB中点,EF∥DC交BC于点F,求EF的长.

解法一:如图1,过点D作DG⊥BC于点G.
∵AD∥BC,∠B=90°,
∴∠A=90度.
可得四边形ABGD为矩形.
∴BG=AD=1,AB=DG.
∵BC=4,
∴GC=3.
∵∠DGC=90°,∠C=45°,
∴∠CDG=45度.
∴DG=GC=3.
∴AB=3.
又∵E为AB中点,
∴BE=

1
2
AB=
3
2

∵EF∥DC,
∴∠EFB=45度.
在△BEF中,∠B=90度.
∴EF=
BE
sin45°
=
3
2
2

解法二:如图2,延长FE交DA的延长线于点G.
∵AD∥BC,EF∥DC,
∴四边形GFCD为平行四边形,∠G=∠1.
∴GD=FC.
∵EA=EB,∠2=∠3,
∴△GAE≌△FBE.
∴AG=BF.
∵AD=1,BC=4,
设AG=x,则BF=x,CF=4-x,GD=x+1.
∴x+1=4-x.
解得x=
3
2
.∵∠C=45°,
∴∠1=45度.
在△BEF中,∠B=90°,
∴EF=
BF
cos45°
3
2
2