当0≤x≤1时，不等式sinπx2≥kx成立，则实数k的取值范围是_．
问题描述：
当0≤x≤1时，不等式sin
≥kx成立，则实数k的取值范围是______． πx 2
答
由题意知：
∵当0≤x≤1时 sin
≥kxπx 2
（1）当x=0时，不等式sin
≥kx恒成立 k∈Rπx 2
（2）当0＜x≤1时，不等式sin
≥kx可化为πx 2
k≤
sin
πx 2 x
要使不等式k≤
恒成立，则k≤(sin
πx 2 x
)min成立sin
πx 2 x
令f（x）=
x∈（0，1]sin
πx 2 x
即f'（x）=
再令g（x）=
xcosπ 2
−sinπx 2
πx 2 x2
xcosπ 2
−sinπx 2
πx 2
g'（x）=-
xsinπ2 4
πx 2
∵当0＜x≤1时，g'（x）＜0
∴g（x）为单调递减函数
∴g（x）＜g（0）=0
∴f'（x）＜0
即函数f（x）为单调递减函数
所以 f（x）min=f（1）=1 即k≤1
综上所述，由（1）（2）得 k≤1
故此题答案为 k∈（-∞，1]．