球面上有三个点A、B、C组成球的一个内接三角形,若AB=18,BC=24,AC=30,且球心到△ABC所在平面的距离等于球半径的1/2,那么这个球的表面积是_.

问题描述:

球面上有三个点A、B、C组成球的一个内接三角形,若AB=18,BC=24,AC=30,且球心到△ABC所在平面的距离等于球半径的

1
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,那么这个球的表面积是______.

球面上三点A、B、C,平面ABC与球面交于一个圆,三点A、B、C在这个圆上
∵AB=18,BC=24,AC=30,
AC2=AB2+BC2,∴AC为这个圆的直径,AC中点M圆心
球心O到平面ABC的距离即OM=球半径的一半=

1
2
R
△OMA中,∠OMA=90°,OM=
1
2
R,AM=
1
2
AC=30×
1
2
=15,OA=R
由勾股定理(
1
2
R)2+152=R2
3
4
R2=225
解得R=10
3

球的表面积S=4πR2=1200π
故答案为:1200π.