球面上有三个点A、B、C组成球的一个内接三角形,若AB=18,BC=24,AC=30,且球心到△ABC所在平面的距离等于球半径的12,那么这个球的表面积是______.
问题描述:
球面上有三个点A、B、C组成球的一个内接三角形,若AB=18,BC=24,AC=30,且球心到△ABC所在平面的距离等于球半径的
,那么这个球的表面积是______. 1 2
答
球面上三点A、B、C,平面ABC与球面交于一个圆,三点A、B、C在这个圆上
∵AB=18,BC=24,AC=30,
AC2=AB2+BC2,∴AC为这个圆的直径,AC中点M圆心
球心O到平面ABC的距离即OM=球半径的一半=
R1 2
△OMA中,∠OMA=90°,OM=
R,AM=1 2
AC=30×1 2
=15,OA=R1 2
由勾股定理(
R)2+152=R2,1 2
R2=2253 4
解得R=10
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球的表面积S=4πR2=1200π
故答案为:1200π.
答案解析:由已知,易得三角形ABC是直角三角形,AC是斜边,设中点为M,则过A,B,C的截面圆心为M,OA=OB=OC是半径,求出OM,利用球半径是球心O到平面ABC的距离的2倍,求出半径,即可求出球O的表面积.
考试点:球的体积和表面积.
知识点:本题考查空间想象能力,计算能力,根据球的截面圆的性质,确定三角形ABC的形状以及利用球半径是球心O到平面ABC的距离的2倍,是解好本题是前提.