已知点F1、F2分别是双曲线x2a2−y2b2＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）A. （1，+∞）B. (1，3)C. （1，2）D. (1，1+2)
问题描述：
已知点F1、F2分别是双曲线
−x2 a2
＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）y2 b2
A. （1，+∞）
B. (1，
)
3
C. （1，2）
D. (1，1+
)
2
答
根据题意，易得AB=2
，F1F2=2c，b2 a
由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，
只要∠AF2B为锐角，即AF1＜F1F2即可；
所以有
＜2c，b2 a
即2ac＞c2-a2，
解出e∈(1，1+
)，
2
故选D．
答案解析：由过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△ABC为等腰三角形，所以△ABF2为锐角三角形只要∠AF2B为锐角即可，由此可知
＜2c，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围．b2 a
考试点：双曲线的简单性质；双曲线的应用．
知识点：本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘．