直线l:y=ax+1与双曲线3x^-y^=1相交于A B两点,是否存在实数a使AB关于直线x-2y=0对称?
问题描述：
直线l:y=ax+1与双曲线3x^-y^=1相交于A B两点,是否存在实数a使AB关于直线x-2y=0对称?
答
将y=ax+1代入方程3x2-y2=1,得
3x2-(ax+1)2=1,整理,
(a2-3)x2+2ax+2=0
设交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=-2a/(a2-3),x1x2=2/(a2-3)
所以,y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a2·x1x2+a(x1+x2)+1=1
因为 以AB为直径的圆经过圆点
所以,OA⊥OB,故OA与OB的斜率的乘积为-1.
∴x1x2=-y1y2
即2/(a2-3)=-1,解得
a=±1.