已知圆C过点M(0,-2)、N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.(1)求圆C的方程;(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.

问题描述:

已知圆C过点M(0,-2)、N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.

(1)设圆C的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0
则有

D
2
−E+1=0
4−2E+F=0
10+3D+E+F=0
(2分)
解得
D=−6
E=4
F=4
(4分)
∴圆C的方程为:x2+y2-6x+4y+4=0;(5分)
(2)设符合条件的实数a存在,
由于l垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l上.
所以l的斜率kPC=-2,
kAB=a=−
1
kPC
,所以a=
1
2
.(7分)
把直线ax-y+1=0即y=ax+1.代入圆C的方程,
消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.
由于直线ax-y-1=0交圆C于A,B两点,
故△=36(a-1)2-36(a2+1)>0,
即-2a>0,解得a<0.
则实数a的取值范围是(-∞,0).(9分)
由于
1
2
∉(−∞,0)
,假设错误,
故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.(10分)
答案解析:(1)设出圆的一般式方程,表示出圆心坐标,把圆心坐标代入到直线x+2y+1=0中得到一个关于D,E及F的方程,然后把M与N的坐标代入所设的圆的方程,得到两个关于E,F及D的方程,三个方程联立即可求出D,E及F的值,确定出圆C的方程;
(2)利用反证法,先假设满足题意得点存在,根据线段垂直平分线的性质得到圆心C必然在直线l上,由点C与点P的坐标求出直线PC的斜率,根据两直线垂直时斜率的乘积为-1,求出直线AB的斜率,进而求出实数a的值,然后由已知直线ax-y+1=0,变形得到y=ax+1,代入(1)中求出的圆C的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,根据直线与圆有两个交点,得到根的判别式大于0,即可求出a的取值范围,发现求出的a的值不在此范围中,故假设错误,则不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.
考试点:直线与圆的位置关系.
知识点:此题考查了利用待定系数法求圆的一般式方程,垂直平分线的性质及方程与函数的综合.此题第二问利用的方法是反证法,此方法的步骤为:先否定结论,然后利用正确的推理得出与已知,定理及公理矛盾,得到假设错误,故原结论成立.