直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=BB1=1，AB1=3（1）求证：平面AB1C⊥平面B1CB； （2）求三棱锥A1-AB1C的体积．
问题描述：
直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=BB1=1，AB1=
3
（1）求证：平面AB1C⊥平面B1CB；
（2）求三棱锥A1-AB1C的体积．
答
（1）直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，
则BB1⊥AB，BB1⊥BC，（3分）
又由于AC=BC=BB1=1，AB1=
，则AB=
3
2
则由AC2+BC2=AB2可知，AC⊥BC，（6分）
又由上BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC，则AC⊥平面B1CB，
所以有平面AB1C⊥平面B1CB；（9分）
（2）三棱锥A1-AB1C的体积VA1−AB1C ＝VB1−A1AC＝
×1 3
×1＝1 2
1 6
答案解析：（1）要证平面AB1C⊥平面B1CB，根据面面垂直的判定定理，只要在平面平面AB1C内找一直线垂直平面B1CB，根据已知条件可证BB1⊥AC，AC⊥BC，从而可得
（2）由（1）可知B1C1⊥平面A1AC，故考虑利以B1为顶点求解体积，即利用VA1−AB 1C ＝VB 1−A 1AC 进行求解
考试点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
知识点：本题主要考查了面面垂直的判定，线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，利用换顶点求解三棱锥的体积，这是高考在立体几何（尤其文科）的考查重点．