如图,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面A′ACC′; (Ⅱ)求三棱锥A′-MNC的体积. (椎体体积公式V=1/3Sh,其中S为

问题描述:

如图,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=

2
,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.

(Ⅰ)证明:MN∥平面A′ACC′;
(Ⅱ)求三棱锥A′-MNC的体积.
(椎体体积公式V=
1
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Sh,其中S为底面面积,h为高)

(Ⅰ)(证法一)
连接AB′,AC′,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱,

所以M为AB′的中点,又因为N为B′C′中点,所以MN∥AC′,
又MN⊄平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′,所以MN∥平面A′ACC′;
(证法二)
取A′B′中点,连接MP,NP.而M,N分别为AB′,B′C′中点,所以MP∥AA′,PN∥A′C′.所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′;又MP∩PN=P,
所以平面MPN∥平面A′ACC′,而MN⊂平面MPN,所以MN∥平面A′ACC′;
(Ⅱ)(解法一)连接BN,由题意A′N⊥B′C′,平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′,所以A′N⊥平面NBC,又A′N=

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B′C′=1,故
V A′-MNC=V N-A′MC=
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V N-A′BC=
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V A′-NBC=
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(解法二)
V A′-MNC=V A′-NBC-V M-NBC=
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2
V A′-NBC=
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6