在三角形ABC中,角ACB的平分线交AB于E,过E作BC的平行线交AC于F,交外角角ACD的平分线于G,求证:F为EG的中点
问题描述:
在三角形ABC中,角ACB的平分线交AB于E,过E作BC的平行线交AC于F,交外角角ACD的平分线于G,求证:F为EG的中点
答
ec.gc分别都是角平分线,所以∠ecg90°,所以这是直角三角形
又因为eg平行bd
所以 ∠fec=∠fce,∠fcg=∠fgc,所以fe=fc=fg
又因为是直角三角行,所以可得F为EG的中点(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)
答
因为EG∥BC
所以∠GEC=∠BCE,∠EGC=∠DCG (内错角相等)
又因为∠ECF=∠BCE,所以∠GEC=∠ECF
所以三角形ECF为等腰三角形
所以EF=CF
同理可以证明∠EGC=∠GCF,三角形CGF为等腰三角形
所以GF=CF
所以EF=GF
所以F为EG的中点