设函数f(x)=ax^2-2x+2(a不等于0),该函数零点都在(1,4)内,求实数a的范围

问题描述:

设函数f(x)=ax^2-2x+2(a不等于0),该函数零点都在(1,4)内,求实数a的范围

ax²-2x+2=0,
当△当△=0时,a=1/2,此时x=2,符合题意
当△>0时,即a(1)抛物线开口向上,a>0,f(1)>0且f(4)>0,解得a>3/8,所以综合起来,就是3/8(2)抛物线开口向上,a所以综上a∈(-无穷,0)U(3/8,1/2]

f(x)=ax²-2x+2=a(x-1/a)²+2-1/a
因为零点都在(1,4)内
所以1<1/a<4
得1/4<a<1
①只有一个零点时,△=(-2)²-4a×2=0,解得a=1/2∈(1/4,1)满足
②有两个零点时,△=(-2)²-4a×2>0
f(1)=a>0
f(4)=16a-6>0
解得a<1/2
a>0
a>3/8
所以3/8<a<1/2
综上:3/8<a≤1/2
答案:3/8<a≤1/2