设F'(x)=f(x),f(x)为可导函数,且f(0)=1,又F(x)=xf(x)+x^2,求f'(x)和f(x)
问题描述：
设F'(x)=f(x),f(x)为可导函数,且f(0)=1,又F(x)=xf(x)+x^2,求f'(x)和f(x)
答
方程左右两边对x求导得：
F'(x)=f(x)+xf'(x)+2x
又因为F'(x)=f(x)
所以方程等于xf'(x)=-2x
f'(x)=-2
则f(x)=-2x+C
由题f(0)=1 得C=1
所以f(x)=-2x+1
答
F(x)=xf(x)+x^2
F'(x)=f(x)+xf'(x)+2x
又F'(x)=f(x)
所以,f(x)=f(x)+xf'(x)+2x
则有：f'(x)=-2
则：f(x)=-2x+c
又f(0)=1,即：c=1
所以,f(x)=-2x+1,f'(x)=-2