函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是(  )A. a∈(-∞,1]B. a∈[2,+∞)C. α∈[1,2]D. a∈(-∞,1]∪[2,+∞)

问题描述:

函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是(  )
A. a∈(-∞,1]
B. a∈[2,+∞)
C. α∈[1,2]
D. a∈(-∞,1]∪[2,+∞)

解析:∵f(x)=x2-2ax-3的对称轴为x=a,
∴y=f(x)在[1,2]上存在反函数的充要条件为[1,2]⊆(-∞,a]或[1,2]⊆[a,+∞),
即a≥2或a≤1.
答案:D
答案解析:本题考查反函数的概念、充要条件的概念、二次函数的单调性等有关知识.
根据反函数的定义可知,要存在反函数,则原函数在此区间上是单调的,由此根据二次函数的对称抽和闭区间的相对关系即可作出判断.
考试点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;反函数.
知识点:本题虽然小巧,用到的知识确实丰富的,具有综合性特点,涉及了反函数、充要条件、二次函数等三个方面的知识,是这些内容的有机融合,是一个极具考查力的小题;
解题中易错点有反函数存在的条件不清晰、充要条件的判定不准确、二次函数的对称轴与其单调性的关联的确定.