已知直线y=x-1和椭圆x2m+y2m−1＝1（m>1）交于A、B两点，若以AB为直径的圆过椭圆的左焦点F，则实数m的值为 ___ ．
问题描述：
已知直线y=x-1和椭圆
+x2 m
＝1（m>1）交于A、B两点，若以AB为直径的圆过椭圆的左焦点F，则实数m的值为 ___ ． y2
m−1
答
由题意，c=
=1，∴F（-1，0）
a2-b2
直线y=x-1代入椭圆
+x2 m
=1，并整理，得（2m-1）x2-2mx+2m-m2=0，y2 m-1
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=2m 2m-1
2m-m2
2m-1
∴y1y2=（x1-1）（x2-1）=
-m2+2m-1 2m-1
∵以AB为直径的圆过椭圆的左焦点F，∴
•
FA
=0
FB
∴（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=0
∴
+2m-m2
2m-1
+1+2m 2m-1
=0-m2+2m-1 2m-1
∴m2-4m+1=0
∴m=2±
3
∵m>1
∴m=2+
3
故答案为：2+
3
答案解析：求出F的坐标，直线方程代入椭圆方程并整理，利用韦达定理，结合以AB为直径的圆过椭圆的焦点F，利用向量的数量积公式，即可求得结论．
考试点：直线与圆锥曲线的关系．
知识点：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．