如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD为矩形,△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,面PAD⊥面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分别为PC和BD的中点.(1)证明:EF∥面PAD;(2)证明:面PDC⊥面PAD.
问题描述:
如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD为矩形,△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,面PAD⊥面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分别为PC和BD的中点.
(1)证明:EF∥面PAD;
(2)证明:面PDC⊥面PAD.
答
(1)如图,连接AC,∵ABCD为矩形且F是BD的中点,∴AC必经过F.(2分)又E是PC的中点,所以,EF∥AP.(4分)∵EF在面PAD外,PA在面内,∴EF∥面PAD(6分)(2)∵面PAD⊥面ABCD,CD⊥AD,面PAD∩面ABCD=AD,∴CD⊥...
答案解析:(1)证明EF∥面PAD,可用线面平行的判定定理,由题设及图,可先证明EF∥AP再由线面平行的判定定理证明;(2)证明面PDC⊥面PAD,由判定定理知要先证明线面垂直,由题设及图知,可先证AP⊥面PCD,再由面面垂直的判定定理证明面面垂直.
考试点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
知识点:本题考查线面平行与面面垂直,掌握线面平行的判定定理与面面垂直的判定定理是解决本题的关键,立体几何的证明题主要考查定理的使用及空间立体感知能力,观察能力,推理判断能力