如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．（1）点A的坐标是______，点C的坐标是______；（2）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）探求（2）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．

答

（1）（4，0），（0，3）；（2）当0＜t≤4时，OM=t∵MN∥AC，∴∠OMN=∠OAC，∠ONM=∠OCA，∴△OMN∽△OAC，∴OMOA=ONOC，即t4=ON3，∴ON=34t，则S=12OM•ON=38t2；当4＜t＜8时，如图，∵OD=t，∴AD=t-4，∵MN∥AC，...
答案解析：（1）根据B点的坐标即可求出A、C的坐标．
（2）本问要分类进行讨论：
①当直线m在AC下方或与AC重合时，即当0＜t≤4时，根据平行得到两对同位角的相等可证△OMN∽△OAC，用两三角形的相似比求出面积比，即可得出S与t的函数关系式．
②当直线m在AC上方时，即当4＜t＜8时，由平行得到一对同位角相等，再由一对直角的相等得到△DAM∽△AOC，根据相似得比例，由OD，AD表示出AM的长，进而得到BM的长，再由MN∥AC，得到两对同位角的相等，从而得到△BMN∽△BAC，由相似得比例BN的长，从而得到CN的长，然后分别表示出各个三角形的面积，可用矩形OABC的面积-三角形BMN的面积-三角形OCN的面积-三角形OAM的面积来求得．
（3）根据（2）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S的最大值及对应的t的值．
考试点：二次函数综合题．

知识点：本题考查了矩形的性质，二次函数的应用、图形的面积求法等知识，其中涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质，二次函数求最值的方法，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．