在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2c2=(2a-b)a+(2b-a)b.(1)求角C的大小;(2)求2cosA+2cosB的最大值.

问题描述:

在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2c2=(2a-b)a+(2b-a)b.
(1)求角C的大小;
(2)求2cosA+2cosB的最大值.

(1)由2c2=(2a-b)a+(2b-a)b,化简得,a2+b2-c2=ab,则cosC=a2+b2−c22ab=12,由于0<C<π,则C=π3;(2)由C=π3,则A+B=2π3,可令A=π3−α,B=π3+α(-π3<α<π3),则2cosA+2cosB=2[cos(π3−α)+c...
答案解析:(1)先化简已知等式,得到a2+b2-c2=ab,再由余弦定理,即可得到C;
(2)由C=

π
3
,则A+B=
3
,可令A=
π
3
−α
,B=
π
3
(-
π
3
<α<
π
3
),再由两角和差的余弦公式化简整理,根据余弦函数的性质,即可得到最大值.
考试点:余弦定理的应用.
知识点:本题考查余弦定理及运用,考查三角函数的化简,注意运用两角和差的余弦公式,考查余弦函数的性质,属于中档题.