△ABC是直角三角形,∠ABC=90°以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接DE.1.求证:DE与圆O相切.2.若圆O的半径为根号3,DE=3,求AE.
问题描述：
△ABC是直角三角形,∠ABC=90°以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接DE.
1.求证:DE与圆O相切.
2.若圆O的半径为根号3,DE=3,求AE.
答
1. 证明： 连接BE，OE，则△BEC是直角三角形
∵ 在直角△BEC中，ED为中线
∴ ED=1/2 BC=BD
又OE=OB(圆半径相等）
OD=OD(公共边)
∴ △OBD≌△OED
∴ ∠OED=∠OBD=90°
∴ DE于圆O相切（圆切线判定定理）
证毕
2. AB=2OB=2OE==2√3，BC=2DE=6
由勾股定理得AC=4√3
∵△AEB∽△ABC(不用证明了吧)
∴ AE/AB=AB/AC
则 AE=(2√3)*(2√3)/(4√3)=√3
答
连接OE、BE.
△BCE中,DE是斜边上的中线,得DE=BD=CD,
所以角C=角CED.
△AOE中,角A=角AEO；
又因为角A+角C＝90°,
所以角AEO+角CED＝90° .
所以角OED＝90°.
所以DE与圆O相切.
Rt△ABC中,AB=2倍根号3,BC＝2DE＝6.
所以角A=60°.
所以△AEO是等边三角形,AE=根号3.