设椭圆中心在原点o,焦点在x 轴上,离心率为√2/2,椭圆上一点p到两焦点距离的和等于√6,设椭圆中心在原点o,焦点在x 轴上,离心率为√2/2,椭圆上一点p到两焦点距离的和等于√6,(1)若直线x+y+M=0交椭圆于两点A,B,且OA⊥OB,求M 的值?
问题描述：
设椭圆中心在原点o,焦点在x 轴上,离心率为√2/2,椭圆上一点p到两焦点距离的和等于√6,设椭圆中心在原点o,焦点在x 轴上,离心率为√2/2,椭圆上一点p到两焦点距离的和等于√6,(1)若直线x+y+M=0交椭圆于两点A,B,且OA⊥OB,求M 的值?
答
+1或-1
答
椭圆上一点p到两焦点距离的和等于√6
a=√6/2,离心率为√2/2
c=√3/2,b=√3/2
椭圆方程为x²/1.5+y²/0.75=1
设A(x1,y1)B(x2,y2)
由椭圆方程与直线方程联立方程组得：x1+x2=-2m/3,x1x2=m²/3-4
OA⊥OB
x1x2+y1y2=0
2x1x2+m(x1+x2)+m²=0
m=2√2或者m=-2√2
答
由题意2a=√6,c/a=√2/2,
所以a=√6/2,c=√3/2,b²=a²-c²=3/4,
椭圆方程为x²/(3/2)+y²/(3/4)=1,即2x²+4y²=3 ①,
由直线x+y+m=0,得y=-x-m ②,
将②代入①,整理得6x²+8mx+4m²-3=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=-4m/3,x1x2=(4m²-3)/6
y1y2=(-x1-m)(-x2-m)=x1x2+m(x1+x2)+m²=(2m²-3)/6,
因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,即(4m²-3)/6+(2m²-3)/6=0,
所以m²=1,即m=1或m=-1.