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已知数列{an]满足a1=2，an+1=1+an1-an（n∈N*），则a2012=_．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 23:30:00

问题描述：

已知数列{a_n]满足a₁=2，an+1=

1+an

1-an

（n∈N^*），则a₂₀₁₂=______．

答

设a_n=f（n），由an+1=

1+an

1-an

得，f(n+1)=

1+f(n)

1-f(n)

，则f（n+2）=f[（n+1）+1]=

1+f(n+1)

1-f(n+1)

=

1+

1+f(n)

1-f(n)

1-

1+f(n)

1-f(n)

=

2

-2f(n)

=-

1

f(n)

∴f(n+4)=-

1

f(n+2)

=-

1

-

1

f(n)

=f(n)，所以数列a_n是以4为周期出现的，
所以a₂₀₁₂=a₄，
又a2=

1+2

1-2

=-3，a3=

1-3

1+3

=-

1

2

，a4=

1-

1

2

1+

1

2

=

1

3

所以a2012=

1

3

．
故答案为

1

3

．