已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m、n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+1/2,且f(1/2)=0,当x>1/2时,f(x)>0.
问题描述：
已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m、n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+1/2,且f(1/2)=0,当x>1/2时,f(x)>0.
1) 求f(1).
2) 求和f(1)+f(2)+...+f(n),(n∈N+).
3) 判断函数f(x)的单调性并证明.
答
(1)f(1/2)=0,f(1)=f(1/2+1/2)=f(1/2)+f(1/2)+1/2=1/2
(2)f(2)=2f(1)+1/2=1+1/2=3/2
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+1/2=2+1/2=5/2
f(4)=f(1)+f(3)+1/2=7/2
……
猜想f(n)=n-1/2,用数学归纳法证明：f(1)=1-1/2成立.
f(k+1)=f(k)+f(1)+1/2=k-1/2+1/2+1/2=(k+1)-1/2成立.
所以f(1)+……+f(n)=n(n+1)/2-n/2=(1/2)n^2
(3)因为f(m+n)=f(m)+f(n)+1/2,所以f(m+n)-f(m)=f(n)+1/2
不妨设x10,x2+x1+1/2>1/2,所以f(x2-x1+1/2)>0,即f(x2)-f(x1)>0,所以f(x)为R上的增函数.
证毕!