已知,如图一,在RT△ACB中,∠C=90°,AC=4CM,BC=3CM,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1CM/S,点Q由A

（1）由题意：BP＝tcm,AQ＝2tcm,则CQ＝(4－2t)cm,
∵∠C＝90°,AC＝4cm,BC＝3cm,∴AB＝5cm
∴AP＝（5－t）cm,
∵PQ‖BC,∴△APQ∽△ABC,
∴AP∶AB＝AQ∶AC,即（5－t）∶5＝2t∶4,解得：t＝
∴当t为 秒时,PQ‖BC
………………2分
（2）过点Q作QD⊥AB于点D,则易证△AQD∽△ABC
∴AQ∶QD＝AB∶BC
∴2t∶DQ＝5∶3,∴DQ＝
∴△APQ的面积：×AP×QD＝ （5－t）×
∴y与t之间的函数关系式为：y＝
………………5分
（3）由题意：
当面积被平分时有：＝ × ×3×4,解得：t＝
当周长被平分时：（5－t）＋2t＝t＋（4－2t）＋3,解得：t＝1
∴不存在这样t的值
………………8分
（4）过点P作PE⊥BC于E
易证：△PAE∽△ABC,当PE＝ QC时,△PQC为等腰三角形,此时△QCP′为菱形
∵△PAE∽△ABC,∴PE∶PB＝AC∶AB,∴PE∶t＝4∶5,解得：PE＝
∵QC＝4－2t,∴2× ＝4－2t,解得：t＝
∴当t＝ 时,四边形PQP′C为菱形
此时,PE＝ ,BE＝ ,∴CE＝
………………10分
在Rt△CPE中,根据勾股定理可知：PC＝ ＝ ＝
∴此菱形的边长为 cm