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在△ABC中，sinB2＝sinA2sinC2．（1）求tanA2•tanC2的值；（2）求证：a+c=3b．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:34:54
问题描述：

在△ABC中，sin

B
2
＝sin
A
2
sin
C
2
．
（1）求tan
A
2
•tan
C
2
的值；
（2）求证：a+c=3b．

答

（1）在△ABC中，A+B+C=π，即B=π-（A+C），
∴

B
2
＝
π
2
−
B+C
2
，即sin
B
2
＝COS
A+C
2
=cos
A
2
cos
C
2
−sin
A
2
sin
C
2
=sin
A
2
sin
C
2

∴cos
A
2
cos
C
2
=2sin
A
2
sin
C
2

∴tan
A
2
•tan
C
2
=
1
2

（2）sinB
=2sin
B
2
cos
B
2

=2sin
A
2
sin
C
2
cos
B
2

=sin
A
2
[sin
B+C
2
-sin
B−C
2
]
=
1
2
sinA-cos
B+C
2
sin
B−C
2

=
1
2
（sinA-sinB+sinC）
∴3sinB=sinA+sinC
根据正弦定理 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∴a+c=3b
答案解析：（1）在△ABC中，A+B+C=π，即A=π-（B+C），或者
A
2
＝
π
2
−
B+C
2
，结合诱导公式可以得到sinA=sin（B+C），cosA=-cos（B+C），
sin
A
2
=cos
B+C
2
，cos
A
2
=sin
B+C
2
等，然后利用两角和与差的余弦公式展开就可得到所求的值；
（2）先利用二倍角公式可知）sinB=2sin
B
2
cos
B
2
进而把sin
B
2
＝sin
A
2
sin
C
2
代入利用两角和公式化简整理得3sinB=sinA+sinC进而利用正弦定理证明原式．
考试点：同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．
知识点：本题主要考查了两角和公式的应用，同角三角函数基本关系，正弦定理．

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