如图,在多面体ABCDE中,AE⊥平面ABC,BD∥AE,且AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F在CD上(不含C,D两点)(1)求多面体ABCDE的体积;(2)若F为CD中点,求证:EF⊥面BCD;(3 ) 当DFFC的值为多少时,能使AC∥平面EFB,并给出证明.
如图,在多面体ABCDE中,AE⊥平面ABC,BD∥AE,且AC=AB=BC=BD=2,AE=1,F在CD上(不含C,D两点)
(1)求多面体ABCDE的体积;
(2)若F为CD中点,求证:EF⊥面BCD;
(3 ) 当
的值为多少时,能使AC∥平面EFB,并给出证明. DF FC
(1)过C作CH⊥AB于H,∵AE⊥平面ABC,AE⊂平面AEDB,∴平面AEDB⊥平面ABC,∵平面AEDB∩平面ABC=AB,CH⊂平面ABC,CH⊥AB∴CH⊥平面ABDE,可得CH就是四棱锥C-ABED的高∵梯形ABDE的面积为S=12(AE+BD)•AB=3,CH=32...
答案解析:(1)过C作CH⊥AB于H,根据AE⊥平面ABC,AE⊂平面AEDB,得到平面AEDB⊥平面ABC,结合线面面面垂直的性质证出CH⊥平面ABDE,从而得到CH就是四棱锥C-ABED的高,再用锥体的体积公式即可算出多面体ABCDE的体积;
(2)取BC中点M,连接AM、FM,由线面垂直的判定与性质,证出AM⊥平面BCD.再证出四边形AEFM是平行四边形,可得EF∥AM,由此即可得到EF⊥平面BCD;
(3)延长BA交DE延长线于N,连接BE,过A作AP∥BE,交DE于P,连接PC,可得当DF:FC=2:1时,AC∥平面EFB.再利用比例线段证出PC∥EF,结合线面平行的判定定理得到PC∥平面EFB,同理得到AP∥平面EFB,从而得到平面PAC∥平面EFB,可得AC∥平面EFB.
考试点:直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.
知识点:本题给出特殊的四棱锥,求证线面垂直和线面平行并求了多面体的体积,着重考查了线面平面、面面平行的判定与性质,线面垂直、面面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识,属于中档题.