在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cosA/cosB=-a/b+2c． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）求sinBsinC的最大值．
问题描述：
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
=-cosA cosB
．a b+2c
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求sinBsinC的最大值．
答
（Ⅰ）∵
=-cosA cosB
，a b+2c
∴由正弦定理可得：
=-cosA cosB
，sinA sinB+2sinC
整理得：cosAsinB+2cosAsinC=-sinAcosB，即2cosAsinC=-sin（A+B），
∴2cosAsinC=-sinC，
∴cosA=-
，1 2
又A为三角形的内角，则A=
；2π 3
（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc，①
由正弦定理得：
=b sinB
=c sinC
=a sin
2π 3
，2a
3
∴sinB=
，sinC=
b
3
2a
，
c
3
2a
∴sinB•sinC=
，②3bc 4a2
①代入②，sinB•sinC=
≤3bc 4(b2+c2)+4bc
=3bc 8bc+4bc
，1 4
当且仅当b=c时，sinBsinC取最大值
．1 4